S=1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6的证明

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 17:56:35

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
相加
(n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+……+n^2)+3*(1+2+……+n)+n
1+2+……+n=n(n+1)/2
所以1^2+2^2+……+n^2=[(n+)^3-1-3n(n+1)/2-n]/3
整理得1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

给你说个思路

设F(n)=1^2+2^2+3^2+...+n^2-n(n+1)(2n+1)/6 (左-右)
再证明F(1)=0;
再证明F(n+1)-F(n)=0 (很多项抵消很容易)
从而F(n)=F(n-1)=....F(2)=F(1)=0

数学归纳法